Задача 1.1. Для представленной электрической схемы определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.
Исходные данные: сопротивление нагрузочных резисторов - R1 = 2Ом, R2 = 3Ом, R3 = 4Ом, R4 = 6Ом, R5 = 10Ом, R6 = 10Ом. Внутренние сопротивления источников ( в схеме не нарисованы, но учитывать надо) - r2 = 1Ом, r3 = 2Ом. ЭДС источников питания - Е2 = 110В, Е3 = 220В. Составить баланс мощностей.

Решение:

Определяем количество независимых контуров и обозначаем их контурные токи. Далее составляем систему уравнений для первого, второго и третьего контуров по второму закону Кирхгофа.
Кому интересна теория составления системы уравнений - могут открыть сноску, находящуюся ниже.

А мы решаем дальше...

Пояснения к первому уравнению: в своем замкнутом контуре №1 контурный ток I11 без учета воздействия других контурных токов как бы "соберет" все сопротивления в этом контуре под знак "плюс". Однако, ток I33 в третьем контуре пройдет в обратном направлении через сопротивление R4 по сравнению с током первого контура через это же сопротивление, поэтому из произведение запишется со знаком "минус". А вот контурный ток I22 второго контура пройдет через сопротивление R1 в том же направлении, что и контурный ток первого контура через это же сопротивление. А значит присоединится к нам их произведение со знаком "плюс". Все слагаемые представляют из себя произведение тока на сопротивление, т.е. - это напряжение. И сумма этих слагаемых, т.е. напряжений данного контура должна равняться ЭДС, входящей в данный контур. А это по условию 110В.
Также составляются с учетом положительных и отрицательных знаков уравнения и для других контуров.
Учитывая исходные данные, запишем систему для контурных токов к виду попроще, причем контурные токи расположим для удобства по порядку и с учетом их знаков, полученных ранее.

Далее придется, как это ни грустно, заняться математикой. Домножим второе уравнение (при умножении обоих частей равенства на одно и тоже число или при делении - равенство не нарушается) на три и сложим его с третьим уравнением. Это позволит нам избавиться от одного неизвестного, а именно контурного тока контура №1. Третье же уравнение перепишем без изменений.

Задача 2.1. Решить предыдущую задачу методом узловых потенциалов.

Исходные данные: сопротивление нагрузочных резисторов - R1 = 2Ом, R2 = 3Ом, R3 = 4Ом, R4 = 6Ом, R5 = 10Ом, R6 = 10Ом. Внутренние сопротивления источников ( в схеме не нарисованы, но учитывать надо) - r2 = 1Ом, r3 = 2Ом. ЭДС источников питания - Е2 = 110В, Е3 = 220В. Составить баланс мощностей.

Решение:

Для начала необходимо составить уравнения по закону Кирхгофа. При расчете сложной цепи с составлением уравнений по закону Кирхгофа выбирают произвольно (обратите внимание - произвольно) направление токов в ветвях. Решая предыдущую задачу, мы выяснили истинное направление всех токов в данной схеме, поэтому для интереса просто изменили направление тока I1, чтобы показать, что результат отт выбора направлений не изменится. Как и в предыдущей задаче, если значение тока получится положительным - значит истинное направление совпадает с произвольно выбранным. Если получится отрицательным - значит истинное направление противоположно выбранному. Только и всего.
Число независимых узловых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа должно быть на единицу меньше числа узлов схемы. Число независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа должно быть равно числу независимых контуров. В итоге общее число уравнений должно быть равно числу искомых неизвестных

;;; ; ;

Составим уравнения по закону Кирхгофа для трех узлов. При этом ток, входящий в узел будем записывать со знаком "плюс", а выходящий со знаком "минус". Можно и наоборот - значения не имеет. Получим:

Теперь подставим в эту систему вышенайденные значения для вычисления токов. Получим следующую систему для решения нашей задачи:

Далее мы приводим все выражения к общему знаменателю 12, приводим в каждом выражении подобные слагаемые и в получившейся системе уравнений первое из них домножаем на 5,5 и складываем со вторым. Получаем:

Сложив первое уравнение со вторым и переписав два последних, получим следующую систему уравнений:

Из первого уравнения находим, что

Подставив найденное значение во второе и третье уравнения системы, приведем подобные слагаемые и таким образом перейдем к системе уже из двух уравнений с двумя неизвестными:

Теперь домножим первое уравнение ситемы на три, а второе на одиннадцать и сложим их. Таким образом получим уравнение с одним неизвестным:

, откуда находим, что

Подставив данное значение в любое из двух уравнений последней системы, получим, что

Оставшееся неизвестным значение потенциала φ2 находится подстановкой вышенайденных потенциалов φ3 и φ4 в любую систему из трех уравнений. Посчитав, получится, что φ2 = 97,672. Далее по ранее определенным нами формулам для нахождения токов в ветвях находим, что:

Как видите, значение тока первой ветви I1 получилось отрицательным. Т.е. на самом деле он будет протекать в противоположном напрвлении по сравнению с тем, которое мы выбрали в начале задачи. Точно также по остальным формулам

;; ; ; находятся и остальные токи.

Получим, что I2 = 4,6307A; I3 = 14,1403A; I4 = 8,9986A; I5 = 4,368A; I6 = 9,7672A. Вывод: значения почти одинаковые и нет разницы, каким именно способом решать задачу.

Задача 3.1. Решить задачу с применением законов Ома и методом узловых потенциалов. Начертить потенциальную диаграмму контура, не содержащего ЭДС. Исходная схема представлена ниже.

Исходные данные: Напряжение источника питания Е = 20В, сопротивления R1 = 3 Ома, R2 = 6 Ом, R3 = 4 Ома, R4 = 8 Ом, R5 = 10 Ом.

Решение:

Самое простое решение - это упростить схему и решить задачу применением законов Ома. Поскольку каждые из 2-х сопротивлений R1 и R4, а также R2 и R5 включены последовательно, то их значения можно сложить и получить преобразованную схему более простого вида для лучшего понимания и удобства вычисления. Ее вид на рисунке справа. Из схемы видно, что сопротивления R1,4 и R2,5 соединены параллельно. Поэтому, посчитав их общее сопротивление по формуле результирующего сопротивления 2-х параллельно включенных резисторов и учитывая тот факт, что это сопротивление будет последовательно включено с резистором R3, получим общее сопротивление всей электрической цепи (пренебрегая внутренним сопротивлением источника питания):Получаем, что Rобщ = 10,5185 Ом. Соответственно, общий ток I1 всей цепи по закону Ома составит: I1 = E/Rобщ = 1,9014А. Далее находим токи отдельных ветвей:. Соответственно,.

Решим эту же задачу методом узловых потенциалов.

В данном случае примем за нулевой потенциал второго узла, т.е. φ2 = 0 (можно и первый - значения не имеет) и воспользуемся формулой межузлового напряжения:Применительно к нашей задаче, получим: Токи ветвей составят:Как видно, из двух методов решения мы пришли к одинаковым результатам.

Для построения потенциальной диаграммы нам необходимо найти потенцалы всех точек №№1,2,3,4. Начнем обходить левый контур по часовой стрелке от точки №2 до точки №2 - по замкнутому кругу. Потенциал точки №2 в начале решения мы приняли равным нулю, т.е. φ2 = 0. Находим далее: → →→В идеале потенциал φ2 должен был получиться нулю, но из-за округлений в промежуточных вычислениях образовалась небольшая погрешность, но это не страшно. Округлив полученные значения потенциалов до сотых долей можно прийти к идеальному нулю. Потенциальная диаграмма строится просто - по оси Х откладываются сопротивления, концам которых соответствуют точки №№1,2,3,4, а по оси Y - соответствующие этим точкам значения вычисленных потенциалов в этих точках.

Задача 1.1. Дан Т-образный симметричный 4-х полюсник. Параметры схемы: U1 = 220В, R1 = 8Ом, R2 = 22Ом, XL1 = 12Ом, XC2 = 30Ом, Rн = 15Ом. Требуется:
1. Определить сопротивление холостого хода Zxx и короткого замыкания Zкз 4-х полюсника.
2. По данным сопротивлениям найти коэффициенты 4-х полюсника в форме А, т.е. коэффициенты A, B, C, D и проверить соотношение между ними (AD - BC = 1).
3. Определить напряжение U2, токи I1 и I2, мощности Р1 и Р2 и КПД η 4-х полюсника при значениях напряжения U1 и активном сопротивлении нагрузки Rн, подключенной к клеммам 2-2'.
4. Определить: а)характеристическое сопротивление Zс четырехполюсника и проверить его расчетом, приняв сопротивление нагрузки Zн = Zc; б)постоянную передачи g четырехполюсника.
Решение:

1. Изображаем схему замещения соответствующего режима холостого хода:

Получаем комплексы сопротивлений:

Изображаем схему замещения соответствующего режима короткого замыкания:

2. Находим коэффициенты четырехполюсника:

Задача 2.1. В симметричном 4-х полюснике измерены напряжения, токи и активные мощности в режимах холостого хода и короткого замыкания. В первом режиме U1xx = 100B; I1xx = 1A; P1xx = 80Вт, при этом характер входного сопротивления емкостной. Во втором режиме U1кз = 100В; I1кз = 2,6А; Р1кз = 200Вт, характер входного сопротивления индуктивный. Определить: 1)комплексные сопротивления Z1xx и Z1кз; 2)коэффициенты 4-х полюсника в А-форме. Результаты вычислений проверить по формуле A*D - B*C = 1; 3)характеристическое сопротивление Zc симметричного четырехполюсника.

Решение:

1. Найдем комплексные сопротивления симметричного 4-х полюсника. В режиме холостого хода: ТогдаКомплексное сопротивлениеВ режиме короткого замыкания Тогда Комплексное сопротивлениеПоскольку 4-х полюсник симметричный, то

2. Найдем коэффициенты четырехполюсника в форме А:

Проверка уравнения связи:

3. Характеристическое сопротивление