Задача 1. Определить общее сопротивление электрической цепи, напряжение и мощность каждого проводника на рис.1 при R1 = 10Ом, R2 = 25Ом, R3 = 15Ом и R4 = 14Ом. Напряжение источника напряжения U = 16В. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

Решение: Данная электрическая цепь является цепью с последовательно включенными проводниками. Общее спротивление тогда рассчитывается по формуле
R = R1 + R2 + R3 + R4. Получим R = 10 + 25 +15 +14 = 64 Ома. При последовательном включении ток одинаков во всей цепи и вычисляется как I = U:R. Имеем:
I = 16:64 = 0,25 Ампер. Тогда, согласно закона Ома для участка цепи напряжение на каждом из проводников составят: U1 = I*R1, U2 = I*R2, U3 = I*R3, U4 = I*R4.
Вычисляем: U1 = 0,25*10 = 2,5B; U2 = 0,25*25 = 6,25B; U3 = 0,25*15 = 3,75B; U4 = 0,25*14 = 3,5B. Проверяем: U = 2,5 + 6,25 + 3,75 + 3,5 = 16В. Мощность каждого
элемента рассчитывается по формуле P = U*I. Получим: Р1 = U1*I = 2,5*0,25 = 0,625Вт; Р2 = U2*I = 6,25*0,25 = 1,5625Вт; Р3 = U3*I =3,75*0,25 = 0,9375Вт;
Р4 = U4*I = 3,5*0,25 =0.875Вт.
Правильность решения можно проверить, рассчитав баланс системы. Должно выполниться условие: U1*I + U2*I + U3*I + U4*I = U*I. Проверяем:
0,625Вт + 1,5625Вт + 0,9375Вт + 0.875Вт = 64В*0,25А. Откуда 4 = 4. Все верно.

 

Задача 2. В домашнюю розетку через удлинитель включены холодильник мощностью 300Вт, стиральная машина мощностью 2,5кВт и СВЧ-печь мощностью 1,5кВт. Определить общий ток в цепи и ток каждого из потребителей.

Решение: Составим электричесую схему включения потребителей. Она представлена на рис.2 и будеть представлять из себя параллельное включение проводников(см. рис.4 в разделе "Про сопротивление"). Токи приборов вычислим из формулы определения мощности: P = U*I откуда I = P/U.
Находим I1 = Pхол/U = 300/220 = 1,36(А); I2 = Pст.м/U = 2500/220 = 11,369(А); I3 = Pсвч/U = 1500/220 = 6,81(А). Общий ток будет равен сумме всех токов. Находим: I = I1 + I2 + I3 = 1,36 + 11,369 + 6,81 = 19,54 (Ампер).
Правильность решения можно проверить, рассчитав баланс системы. Из условия следует что общая мощность равна Р = 300Вт + 2500Вт + 1500 = 4300Вт = 4,3кВт. Также мощность равна произведению общего тока на напряжение и составит: Р = U*I = 220*19,54 = 4300Вт - 4,3кВт.
Все верно.

Задача 2.1. Требуется изготовить новогоднюю гирлянду из одинаковых лампочек напряжением 3,5В. Сколько потребуется ламп?

Решение: Поскольку лампы имеют меньшее напряжение, чем напряжение сети, их необходимо соединить последовательно. Поскольку параметры их одинаковы, необходимо общее напряжение разделить на рабочее напряжение ламп. Получим: N = 220/3,5 = 62,86(штук). Округляем до целого значения: N = 63 штуки.

 

Задача 2.2. Требуется рассчитать напряжение на каждой из ламп подобно рис.3, но с учетом того, что одна лампа перегорела и ее заменили на лампу с параметрами U = 3,5В и током I = 0,26А. Остальные лампы на то же напряжение, но рабочий ток I = 0,16А. Рассчитать мощности этих двух типов лампочек.

Решение: Мощности находим по формуле Р = U*I. Получим: Р1 = U1*I1 = 3,5*0,26 = 0,91Вт; Р2 = U2*I2 = 3,5*0,16 = 0,56Вт. Общий ток в цепи найдем при предварительном нахождении общего сопротивлении всей цепи. Сопротивление первого типа лампы R1 = U1/I1 = 3,5/0,26 = 13,46Ом. Второго типа: R2 = U2/I2 = 3,5/0,16 = 21,875Ом. Общее сопротивление: R = R1 + R2*62 = 13,46 + 1356,25 = 1369,71Ом. Ток в цепи составит: I = U/R = 220/1369,71 = 0,1606 А. Тогда напряжение на первом типе лампы составит U1 = I*R1 = 0,1606*13,46 = 2,16В. На втором типе U2 = I*R2 = 0,1606*21,875 = 3,51В.

Задача 3.1. Имеется гараж, освещение которого состоит из последовательно соединенных ламп в количестве 20штук рабочим напряжением 12В и мощностью 40Вт каждая. Через какое-то время хозяин заменил половину, т.е. 10шт, из них на более мощные с тем же рабочим напряжением , но по 60Вт. Однако, после такой замены оставшиеся лампы мощностью 40Вт стали перегорать чаще. Могло ли так стать и почему, ведь общее их количество не изменилось, а половина из них даже мощнее, чем по 40Вт?
Попробуем разобраться.
Мысленно представим себе гирлянду из 20ламп на 12В питающихся от 220В. По сути - это тот же рис.4 в задаче выше, только с другими параметрами ламп. Поскольку лампы включены последовательно, значит и сопротивления их нитей накала включены также. В таком случае, рассчитаем общее сопротивление цепи:
1)сопротивление одной лампы мощностью 40Вт составит: R40=U²/P = 12²/40 = 3,6(Ом);
2)сопротивление одной лампы мощностью 60Вт составит: R60=U²/P = 12²/60 = 2,4(Ом);
3)общее сопротивление всех ламп при их последовательном соединении: Rобщ = 3,6*10 + 2,4*10 = 60(Ом);
4)общий той в цепи: Iобщ = U/I = 220/60 = 3.66(A).
Следовательно, по закону Ома:
5)напряжение на каждой лампе мощностью 40Вт составит: U40 = Iобщ*R40 = 3.66*3.6 = 13.2(B);
6)напряжение на каждой лампе мощностью 60Вт составит: U60 = Iобщ*R60 = 3.66*2,4 = 8,8(B).
Как заметно из результатов вычислений, лампы с меньшей мощностью будут работать с перекалом нити накаливания, а лампы с большей мощностью, наоборот, недокалом.
Вывод: при последовательном соединении ламп и составлении из них гирлянд, необходимо брать лампы с полностью одинаковыми параметрами.
P.S. При еще большей разнице в мощностях ламп(например, 40Вт и 75Вт) или их количественном соотношении(например 5шт по 40Вт и 15шт по 60Вт)разница в напряжениях может быть еще больше, в результате чего лампы с меньшей мощностью начнут перегорать быстрее. Таким образом, если мы пополним последовательную цепочку из одинаковых ламп какими-нибудь из них отличающимися, то как бы нарушим, если так можно сказать, общее равновесие всей электрической цепи не в пользу менее мощных ламп.
Тоже самое произойдет, если в гирлянде из одинаковых новогодних ламп на 13,5В и на 0,16А мы заменим несколько ламп на такое же напряжение, но бОльший ток, например, лампами на 13,5В, но на 0,26А. На менее мощных будет перенапряжение. Поэтому в гирляндах надо использовать только одинаковые лампы - либо по одинаковой мощности и напряжению, либо по одинаковому напряжению и току, смотря какая из этих комбинаций нанесена на корпусе. А вот для параллельного включения ламп данное условие не обязательно.

Задача 4.1. Рассчитать общее сопротивление цепи при R1 = 10Ом, R2 = 20Ом, R3 = 30Ом, R4 = 40Ом, R5 = 50Ом, R6 = 60Ом на рис.5.

Решение: Найдем общее сопротивление резисторов R1 и R2. Между собою они соединены последовательно. Тогда общее их сопротивление
R1,2 = R1 + R2 = 10 + 20 = 30Ом. И схема примет вид рис.5а. Упростив правое плечо схемы, где сопротивления R4, R5, R6 соединены тоже последовательно, получим R4,5,6 = R4 + R5 + R6 = 40 + 50 + 60 = 150Ом. Найдем общее сопротивление трех параллельно соединенных сопротивлений по формуле = 1/30 + 1/30 + 1/150 = 0,033 + 0,033 + 0,0067 = 0,073 (1/Ом). Соответственно просто R = 1/0.073 = 13.7Ом. Можно было также вычислить общее сопротивление сопротивлений R1,2 и R3 по формуле . Получилось 15Ом. Проверьте сами. Это сопротивление после упрощения будет включено параллельно с сопротивлением R4,5,6. По этой же формуле находим: R = 15*150/(150+15) = 13,6Ом.

Задача 4.2. Имеется 8 сопротивлений по 10 Ом. Необходимо их все соединить так, чтобы общее сопротивление составило 20 Ом. Решение: Есть два варианта исполнения - либо соединить два сопротивления по 40 Ом параллельно и тогда их общее сопротивление будет равно половине каждого согласно формуле , либо сделать цепочку из четырех последовательно соединенных сопротивлений по 5 Ом, каждое их которых будет состоять из 2-х параллельно соединенных сопротивлений по 10 Ом. Первый вариант исполнения показан на рис.5а1, второй на рис.5а2.

Задача 5.1. На улице установлен щиток со счетчиком. Необходимо из имеющихся в наличии резисторов ПЭВ-100 номиналами 400Ом и 620Ом использовать те, которые смогут обогревать щиток при подаче на них напряжения 220В.

Решение:Составим схему питания обогревочного резистора(рис.6). Имеющаяся мощность резистора - 100Вт. Поэтому при нагревании выделяющаяся на нем мощность не должна превышать этого значения. Мощность рассчитывается по формуле P = U*I, где U - напряжение питания, I - проходящий через резистор ток. По закону Ома найдем ток, проходящий через резистор по формуле I = U/R. Ток через резистор номиналом 400Ом составит: I1 = 220/400 = 0,55 А. Мощность которая на нем выделится P = U*I1 = 220*0,55 = 121Вт. Этот резистор не подойдет, т.к. реально выделяемая расчетная мощность 121Вт превысит его максимально заданную 100Вт.
Рассчитаем ток через сопротивление номиналом 620Ом. Ток I2 = U/R = 220/620 = 0,355 А. Тогда выделяемая мощность будет P = U*I2 = 220*0,355 = 78,1Вт. Это сопротивление подойдет - егшо расчетная мощность меньше максимально допустимой.
P.S. Есть более простая в данном случае формула, позволяющая обойтись и без вычисления тока - . Проверьте самостоятельно. Мощность также можно рассчитывать и по формуле
. Тогда Р1 = 0,55*0,55*400 = 121Вт; Р2 = 0,355*0,355*620 = 78,1Вт.

Задача 5.2. Имеется небольшой водонагреватель для 3-х фазной цепи. Каждый тэн мощностью 1кВт и напряжением 220В. Необходимо на щитке управления смонтировать три лампочки напряжением 1,5В, которые контролировали бы исправность каждого из трех тэнов.

Решение: Составим упрощенную схему питания тэнов(рис.7). Чтобы контролировать цепь питания любого тэна, необходимо в цепь его питания последовательно с ним включить такое сопротивление, на зажимах которого образовывалось бы напряжение величиной 1,5В. С него мы и возьмем напряжение на индикаторную лампочку. Величина этого сопротивления определяется согласно закона Ома: R1 = U1/I, где I - величина тока в цепи, R1 - величина искомого сопротивления, U1 - напряжение для лампочки величиною 1,5В. При перегорани тэна цепь питания его лампы оборвется и она погаснет. Рассматриваемая идея представлена на рис.7а. Для упрощения мы пренебрегли полным сопротивлением цепи(исключили маленькое сопротивление), учтя только сопротивление тэна. Получим ток в цепи I = P/U = 1000Вт/220В = 4,55 А. Тогда величина дополнительного сопротивления составит: R1 = U1/I = 1,5/4,55 = 0,33 Ом. Возьмем, к примеру, нихромовую проволоку диаметром 1,5кв.мм(именно такое сечение выдержит такой ток по справочникам - это надо учитывать). Рассчитаем ее необходимую длину по формуле , где р - удельное сопротивление металла(для нихрома 1,1Ом*кв.мм/м), S - сечение, L - необходимая длина. Откуда находим = 0,33*1,5/1,1 = 0,45м. Если взять фехраль(р = 1,3Ом*кв.мм/м) ; необходимое сечение 1кв.мм), то длина проволоки составит L = 0.33*1/1.3 = 0.25м.

напомним, что фазное напряжение в 3-х фазной сети - это напряжение на концах нагрузки, включенной в фазу, либо напряжение между нулем и фазой(каждой). Это одно и тоже. Кто забыл, могут посмотреть здесь.

Тогда математически в комплексном виде напряжения каждой из фаз запишутся как:

, ,

степень числа е в данном случае - это есть угол каждой из фаз. Об этом тоже здесь.

Фазные токи приемника на основании закона Ома будут равны:

Обратите внимание, что числа 2,54А, 6,35А и 2,54А - это те значения, который покажет нам амперметр переменного тока при включении в каждую из фаз, т.е. это действующие значения.

читаем дальше... Ток в нейтральном проводе Обратите внимание, что сумма значений токов (действующих значений) в каждой из фаз не равна току (действующему значению) в нейтральном проводе. Действующее значение тока в нейтральном проводе всегда меньше суммы действующих значений тока в каждой их фаз. Это оттого, что в один и тот же момент времени токи в разных фазах имеют разные значения и по величине и по знаку(либо плюс либо минус). Этот факт демонстрирует график, представленный на рис.8б. Токи каждой из фаз обозначены соответствующими буквами. Обозначен и суммарный ток. А вот если мы по графику в любой выбранный момент времени сложим токи всех фаз(это будут мгновенные значения), то в сумме они дадут число, равное мгновенному значению(в этот момен времени) суммарного тока. Подробнее такие вычисления мы покажем в разделе "Смещение нейтрали". Поскольку все расчеты по сечениям силовых кабелей и их тепловому разрушению зависят именно от действующих значений проходящего через них тока, то и сечение нулевого провода при его производстве делается меньше, чем сечение фазных проводников. 2)вычисляем комплексную мощность трехфазной цепи: Обратите внимание, что фазные токи I в верхнем индексе помечены "звездочкой"*, т.е. это те же значения, что мы получили ранее, только знаки "плюс" и "минус" перед буквой "j" надо поменять на противоположные.Такой ток называется комплексно-сопряженным. или согласно формулы Эйлера Таким образом, активная мощность в данной цепи составит Р = 936Вт, а реактивная Q = 709вар. А на рис.8в представлена векторная диаграмма напряжений и токов. Подробности ее построения рассмотрены в разделе "Смещение нейтрали". Также смотрите задачи по электротехнике на другие темы на следующей странице

Задача 2.1. К зажимам 3-х фазного симметричного источника энергии с линейным напряжением Uл = 380В подключена соединенная звездой несимметричная нагрузка, сопротивления фаз которой ZA = (6 +j8) Ом, ZB = (24 +j7) Ом, ZC = 20Ом. Необходимо определить:
1)напряжение смещения нейтрали U0;
2)фазные напряжения нагрузки U'A, U'B, U'C;
3)ток в фазах IA, IB, IC.
Построить векторную диаграмму напряжений и токов.

Решение:
1.Фазное напряжение источника:, т.е.
Проводимости фаз нагрузки

Найдем напряжение смещения

2. Напряжения на фазах нагрузки:

3. Токи в фазах нагрузки

 

В правильности решения можно убедиться проверкой:

Векторная диаграмма представлена в начале задачи.

Задача 3.1. В 3-х фазную сеть с линейным напряжением Uл=220В включен треугольником приемник, сопротивления фаз которого равны: ZAB = (30-j40) Ом; ZBС = (30+j40) Ом; ZСA = 50 Ом. Требуется вычислить фазные и линейные токи, найти активную и реактивную мощности 3-х фазной цепи, построить векторную диаграмму напряжений и токов.

Решение:

1. Запишем фазные напряжения источника в комплексном виде:

По закону Ома найдем фазные токи:

Линейные токи определим по первому закону Кирхгофа:

2. Полная мощность трехфазной цепи:

откуда

Отсюда следует, что активная мощность Р = 2130 Вт, а реактивная мощность Q = 0. Векторная диаграмма показана в начале задачи.