Переходный процесс с катушкой и ключом на замыкание - классический метод

[МаэстроZ]

perehodni-process.gif (6.51 КБ) 13686 просмотров

Дано: R1=2 Ом, R2=2 Ом, R3=2 Ом, E=12В, L=3Гн. Найти токи в ветвях, напряжение Uвых и построить график его изменения.

Операторным методом эта задача решена здесь Переходный процесс с катушкой и ключом на замыкание - операторный метод

А здесь решаем классическим.
Сразу пишем формулу общего тока всей цепи в общем виде как сумму принудительной и свободной составляющих
[math]I_1=I_{пр}+I_{св}. Находим [math]I_{пр}=\frac{E}{R_1+\frac{R_2 \cdot R_3}{R_2+R_3}}=4
Сразу определяем начальные условия
[math]I_1(0)=I_3(0)=\frac{E}{R_1+R_2}=3
Составляем систему уравнений для времени t=0

Скрытый текст

Для просмотра скрытого текста необходимо быть авторизованным пользователем.

Т.к. I3(0)=3А согласно начальных условий, то [math]I_2(0)=I_1(0)-I_3(0)=I_1(0)-3. Подставим это во второе уравнение системы и получим, что [math]U=I_1(0)R_1+(I_1(0)-3)R_2. В итоге получим, что I1(0)=4,5А. для общего тока при времени t=0 запишем:
[math]I_1(0)=I_{пр}+I_{св}=4+A=4,5. Откуда А=0,5. Соответственно, получаем выражение для полного тока всей цепи [math]I_1=4+0,5e^{pt}. Находим постоянную времени t. Для этого составляем характеристическое сопротивление цепи и находим параметр p:
[math]Z(p)=R_1+\frac{(R_3+Lp)R_2}{R_3+Lp+R_2}.
........................................................................
Приводим всё к общему знаменателю и после алгебраических преобразований решаем уравнение вида 12p+12=0. Откуда p=-1. Соответственно полное выражение для общего тока цепи запишется как [math]I_1=4+0,5e^{-t}
Далее находим [math]I_2=\frac{U-I_1R_1}{R_2}, [math]I_3=I_1-I_2=2+e^{-t}. Искомая для построения графика величина напряжения на сопротивлении [math]U{вых}=U_{R_3}=I_3 \dot R_3=4+2e^{-t}

U-R3.gif (7.93 КБ) 13678 просмотров