Разветвленная цепь с ключом на размыкание - операторный метод

[МаэстроZ]

ER1R2R3L.png (153.68 КБ) 2003 просмотра

Решим эту задачу операторным методом, рассмотренную ранее классическим методом Разветвленная цепь с ключом на размыкание . Данные те же. Все сопротивления R=8 Ом, L=0,05 Гн, Е=120В. Определить токи в ветвях схемы операторным методом.
Решение:
Сразу же можем рассчитать общее эквивалентное сопротивление цепи, чтоб далее найти принудительную составляющую.
[math]r=r_1+\frac{r_2 \cdot r_3}{r_2+r_3}=12\Ом
Принудительная составляющая равна [math]i_{пр}=\frac{U}{r}=10\А. Далее составим операторную схему замещения цепи и запишем систему уравнений для времени t=0:

ER1R2R3L.gif (5.46 КБ) 2002 просмотра

\begin{cases}
i_1(p)= i_2(p)+i_3(p)\\
\frac{U}{p}= i_1(p)r_1+i_2(p)r_2\\
\frac{U}{p}+Li_3(0)=i_1(p)r_1+i_3(p)(r_3+Lp)
\end{cases}
Далее из второго уравнения выражаем ток I2, из третьего I3. Полученные выражения подставляем в первое уравнение системы.
После кучи алгебраических преобразований получим уравнение вида [math]i_1(0,8p^2+192p)=1920+12p. Выражение для тока I1 в операторной форме примет вид
[math]i_1(p)=\frac{1920+12p}{0,8p^2+192}
Для нахождения оригинала тока i1 определим корни знаменателя F2(p), для приравняем его к нулю
.......................................
Получаем корни р1=0 и р2=-240. Найдем числители слагаемых для полученных значений корней р1 и р2:
F1(p1)=1920 , F2(p2)=-960
Находим производную знаменателя: F2'(p)=1,6p+192. Подставляем вместо р соответствующие корни и получим знаменатели слагаемых: F2'(p1)=192, F2'(p2)=-192.
Далее в соответствии с формулой разложения находим, что
[math]i_1=\frac{1920}{192}e^{0t}+\frac{-960}{-192}e^{-240t}, т.е. [math]i_1=10+5e^{-204t} как и в классическом методе решения.
Всё остальное находится как в классическом методе решения