Задача на метод узловых потенциалов

[МаэстроZ]

Наиболее простой и универсальный метод решения задач методом узловых потенциалов - это составление системы уравнений, используя проводимости ветвей и нахождение токов ветвей через составление матриц.
Решим данную задачу. Напряжения ЭДС на схеме показаны в вольтах, сопротивлений - в омах.

МУП.jpg (23.32 КБ) 3068 просмотров

Следующим этапом нумеруем узлы схемы и обозначаем на схеме направления и номера токов ветвей. Направление токов можно выбирать произвольно, но лучше совместить с направлением ЭДС в соответствующих ветвях.

МУП-токи.gif (9.02 КБ) 3066 просмотров

Далее определяем проводимости ветвей, сходящихся в каждом из обозначенных узлов (G_kk), кроме мысленно заземленного, и проводимости ветвей, непосредсткенно соединяющих узлы k и m (G_km). И определяем узловые токи J_kk.
Имеем:
G₁₁=1/5+1/5+1/3=0,733 См, G₂₂=1/2+1/5+1/10=0,8 См, G₃₃=1/5+1/10+1/3=0,633 См, G₁₂=G₂₁=-(1/5)=-0,2 См, G₂₃=G₃₂=-0,1 См, G₁₃=G₃₁=-(1/3)=-0,333 См
J₁₁=-80/5-100/3=-49,333A, J₂₂=80/5+20/10-50/2=-7A, J₃₃=-40/5-20/10+100/3=23,333A,
Составляем систему уравнений

Скрытый текст

Для просмотра скрытого текста необходимо быть авторизованным пользователем.

Находим определитель системы и алгебраические дополнения составленных матриц

Скрытый текст

Для просмотра скрытого текста необходимо быть авторизованным пользователем.

[math]\Delta_1=\begin{vmatrix} -49,333 & -0,2 & -0,333 \\ -7 & 0,8 & -0,1 \\ 23,333 & -0,1 & 0,633 \end{vmatrix}=-18,926

[math]\Delta_2=\begin{vmatrix} 0,733 & -49,333 & -0,333 \\ -0,2 & -7 & -0,1 \\ -0,333 & 23,333 & 6,333 \end{vmatrix}=-7,096

[math]\Delta_3=\begin{vmatrix} 0,733 & -0,2 & -49,333 \\ -0,2 & 0,8 & -7 \\ -0,333 & -0,1 & 23,333 \end{vmatrix}=-2,359

Определяем потенциалы узловых точек
[math]\varphi_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{-18,926}{0,237}=-79,857
[math]\varphi_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{-7,096}{0,237}=-29,941
[math]\varphi_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-2,359}{0,237}=-9,954

Вычисляем токи ветвей
[math]I_1=\frac{\varphi_1-\varphi_2+80}{5}=\frac{-79,857-(-29,941)}{5}=6,017A
Аналогично находим остальные токи
[math]I_2=\frac{\varphi_2+50}{2}=10,03A
[math]I_3=\frac{\varphi_3+40}{5}=6,009A
[math]I_4=\frac{\varphi_3-\varphi_2+20}{10}=3,999A
[math]I_5=\frac{\varphi_1-\varphi_3+400}{3}=10,032A
[math]I_6=\frac{\varphi_1}{5}=-15,971A
Ток I₆ получился отрицательным, значит его реальное направление будет противоположно тому, что выбрано на рисунке.