Цепь с R, C и L

[Алина]

rcl.jpg (14.87 КБ) 8093 просмотра

R=100 Ом, C=16мкФ, L=1Гн, U=30В. Найти напряжение и ток на конденсаторе с течением времени. Поможите плиз?

[МаэстроZ]

Необходимо составить характеристическое входное сопротивление цепи, приравнять полученное выражение к нулю. Далее найти корни характеристического уравнения.

[Алина]

Rвх=1/рС+(RLp/R+Lp)?

[МаэстроZ]

[math]Z(p)=\frac{1}{pC}+\frac{RLp}{R+Lp}=\frac{(R+Lp)+pCRLp}{pC(R+Lp)}

Числитель приравнять к нулю и решить квадратное уравнение Вперед!

[Алина]

Уравнение получилось p^2RCL+Lp+100=0 Корни p1=-125 и р2=-500
Что дальше делать, понятия не имею. Знаю только, что закон изменения напряжения на конденсаторе равен сумме свободной и принужденной составляющей. Вроде как Uc(t)=A1*e^р1t+A2*e^р2t+Uпр, т.е. Uc(t)=A1*e^-500t+A2*e^-125t+Uпр ?

[МаэстроZ]

Находим принужденную составляющую при [math]t=\infty \to U_{пр}=30B
[math]U_c(t)=A_1\cdot e^{-500t}+A_2\cdot e^{-125t}+30B
Выражение для тока записывается как производная напряжения по времени помноженная на емкость, а именно
[math]i_c(t)=C\cdot \frac{dU_c(t)}{dt}
Не забываем про особенности производной от числа е в степени
[math]i_c(t)=C\cdot(A_1\cdot e^{-500t}+A_2\cdot e^{-125t}+U_{пр})'
[math]i_c(t)=16\cdot 10^{-6}(-500\cdot A_1\cdot e^{-500t}-125\cdot A_2\cdot e^{-125t})=-0,008A_1e^{-500t}-0,002A_2e^{-125t}
Далее составляем систему уравнений с учетом законов коммутации для начальных условий
[math]\begin{cases}
U_c(0_-)=U_c(0_+)=0 B\\
i_c(0_+)=\frac{U}{R}=0,3 A
\end{cases}
Далее составляем снова систему уравнений для напряжения и тока с учетом составленных ранее выражений
[math]U_c(t)=A_1\cdot e^{-500t}+A_2\cdot e^{-125t}+30B
и
[math]i_c(t)=-0,008A_1e^{-500t}-0,002A_2e^{-125t}
для времени [math]t=0 , пользуясь составленной выше системой уравнений

[Алина]

Получается вроде как
А1*е^0+A2*e^0+30=0 и
-0,008A1*e^0-0,002A2*e^0=0,3
Дальше как-то преобразовывать или упрощать?

[МаэстроZ]

Да
[math]\begin{cases}
A_1\cdot e^0+A_2\cdot e^0+30=0\\
-0,008A_1\cdot e^0-0,002A_2\cdot e^0=0,3
\end{cases}
Из первого уравнения выражаем, скажем, [math]A_1 через[math]A_2, т.е [math]A_1=-30-A_2
и подставляем во второе. Получим, что [math]0,006A_2=0,06, откуда [math]A_2=10. После этого [math]A_1 находится легко - [math]A_1=-40

[Алина]

Получилось, что Uc(t)=-40e^-500t+10e^-125t+30. А Ic, вроде как ранее нашли
Ic(t)=-0,008A1*e^-500t-0,002A2*e^-125t

[МаэстроZ]

Да
[math]U_c(t)=-40e^{-500t}+10e^{-125t}+30
[math]I_c(t)=-0,008A_1e^{-500t}-0,002A_2e^{-125t}
График нарастания напряжения на конденсаторе при переходном процессе

График убывания тока в цепи через конденсатор при переходном процессе