Анализ RC-цепи

[МаэстроZ]

Необходимо определить, используя исходные данные таблицы 2, в какой момент времени ток через емкость с параметрами С и R, включаемую на синусоидальное напряжение [math]U_m\cdot sin(314t+\psi) , достигает максимального значения. Найти при этом его амплитуду и построить кривую этого переходного процесса, на которой отметить максимальное значение. На графике обязательно выделить точку соответствующую максимуму тока
Схема замещения цепи приведена на рисунке

RC-cep.png (73.97 КБ) 3448 просмотров

3.1 Вывод закона изменения тока в цепи
Расчет данного переходного процесса проведем классическим методом.
Вначале запишем общий вид уравнения тока, который будет протекать в цепи после замыкания коммутатора К:

[math]i(t)=i_{пр}(t)+i_{св}(t)

Так как напряжение, на которое включают RC-цепь, синусоидальное, то установившийся ток [math]i_{пр}(t) в цепи после переходного процесса будет также синусоидальным. Его найдем из закона Ома:

[math]I_m=\frac{E_m}{R-(\frac{1}{j \omega c})}=\frac{E_m \cdot e^{j \varphi}}{\sqrt {R^2+ ( \frac {1}{\omega c}} )^2\cdot e^{-jarctg(\frac{1}{j \omega c})}}=\frac{E_m}{\sqrt {R^2+ ( \frac {1}{\omega c}} )^2}\cdot sin (\omega t + \varphi - arctg(- \frac{1}{ \omega CR}))=9,167sin⁡(314t-311,5^\circ) A

Запишем закон изменения тока от времени с учетом найденной составляющей:
[math]i(t)=9,167 \cdot sin⁡(314t-311,5^\circ)+i_{св}(t), A.

Вычислим свободную составляющую тока i(t).

Для этого решим характеристическое уравнение, которое мы составили на основании схемы замещения (рис.2.1).

shema-zameshenia.png (48.15 КБ) 3448 просмотров

[math]Z(p)=\frac{1}{Cp}+R=0
Решая данное уравнение относительно p, получим:
[math]p= - \frac{1}{RC}= - \frac{1\cdot 10^6}{24\cdot 150}= - 277,78
Свободную составляющую запишем в виде:
[math]i_{св} (t)=F\cdot e^{-277,78t} A,
где F – постоянная интегрирования.
Подставляя значения принужденной и свободной составляющей в общее выражение, получим:
[math]i(t)=9,167\cdot sin⁡(314t-311,5^\circ)+F\cdot e^{-277,78t}, A.
В момент времени t = 0 это выражение примет вид:
[math]i(0)=9,167\cdot sin⁡(-311,5^\circ)+F, A.
Определяем [math]U_c (0) (рис.2.2).

t0.png (51.45 КБ) 3448 просмотров

Из схемы при [math]t=0_+ определяем i(0) (рис.2.3).

shema.png (54.23 КБ) 3448 просмотров

[math]i(0)=\frac{e}{R}=\frac{220 \cdot sin(-270^\circ)}{24}=9,167A
[math]9,167 \cdot sin⁡(-311,5^\circ)+F=9,167;
[math]F=9,167-9,167 \cdot sin⁡(-311,5^\circ)=2,301
Полное значение переходного тока через RC-цепь с учетом найденных коэффициентов имеет вид:
[math]i(t)=9,167 \cdot sin⁡(314t-311,5^\circ)+2,301 \cdot e^{-277,78t} А.
При данной постоянной времени ток принимает вид, показанный на графике

Точка, соответствующая максимуму тока - 9,17А