Электротехника для студентов

Дано: к цепи приложено напряжение несинусоидальной формы, график
которого и аналитическое выражение заданы.
Требуется:
1. Записать уравнение для мгновенного значения напряжения в виде ряда
Фурье до шестой гармоники включительно.
2. Рассчитать цепь, определив действующие значения токов и напряжений
всех ветвей цепи.
3. Определить мгновенное значение тока в виде ряда Фурье в
неразветвленной части цепи.
4. Определить активную мощность цепи.
5. Построить кривые приложенного напряжения и тока в неразветвленной
части цепи как суммы гармонических составляющих.
Исходные данные для расчета:
[math]U_m=140 \В; [math]L_1=25,5 \мГн; [math]R_2=35 \Ом; [math]L_2=44,6 \мГн;
[math]R_3=30 \Ом; [math]C=177\ мкФ

Решение:
1)По таблице разложения периодических функций в тригонометрический ряд записываем:
[math]U=\frac{560}{\pi}(\sin\omega t+\frac{1}{3}\sin 3 \omega t+\frac{1}{5}\sin 5 \omega t)=178{ , }254\sin\omega t+59{ , }418\sin 3 \omega t+35{ , }651\sin 5 \omega t
Производим расчеты цепи для 1-ой гармонической составляющей:
[math]U_1=\frac{U_{1m}}{\sqrt{2}}=\frac{178{ , }254}{\sqrt{2}}=126{,}045 B

Рассчитываем сопротивления элементов на частоте 1-ой гармоники:

[math]X_{L1(1)}=2\pi fL_1=2\cdot 3{,}14\cdot 50\cdot 25{,}5\cdot 10^{-3}=8{,}011\Ом
[math]X_{c(1)}=\frac{1}{2 \pi fC}=\frac{1}{2 \cdot 3{,}14 \cdot 50 \cdot 177 \cdot 10^{-6}}=17{,}984\Ом
[math]X_{L2(1)}=2\pi fL_2=2\cdot 3{,}14\cdot 50\cdot 44{,}6\cdot 10^{-3}=14{,}012\Ом

Комплексные сопротивления ветвей и всей цепи на 1-ой гармонике:

[math]Z_{1(1)}=jX_{L1(1)}=j8{,}011=8{,}011e^{j90^\circ}\Ом
[math]Z_{2(1)}=R_2+jX_{L2(1)}=35+j14{,}012=37{,}701e^{j21{,}82^\circ}\Ом
[math]Z_{3(1)}=R_3-jX_{C(1)}=30-j17{,}984=34{,}978e^{-j30{,}94^\circ}\Ом
[math]Z_{(1)}=Z_{1(1)}+\frac{Z_{2(1)}\cdot Z_{3(1)}}{Z_{2(1)}+Z_{3(1)}}=j8{,}011+\frac{37{,}701e^{j21{,}82^\circ} \cdot 34{,}978e^{-j30{,}94^\circ}}{(35+j14{,}012)+(30-j17{,}984)}=j8{,}011+\frac{1318{,}706e^{-j9{,}12^\circ}}{65{,}121e^{-j3{,}5^\circ}}=

[math]=j8{,}01+20{,}25e^{-j5{,}62^\circ}=20{,}153+j6{,}027=21{,}035e^{j16{,}65^\circ}\Ом

Токи и напряжения в цепи 1-ой гармоники:

[math]I_{1(1)}=\frac{U_1}{Z_{(1)}}=\frac{126{,}045}{21{,}035e^{j16{,}65^\circ}}=5{,}992e^{-j16{,}65^\circ}\А
[math]U_{1(1)}=I_{1(1)}\cdot Z_{1(1)}=5{,}992e^{-j16{,}65^\circ}\cdot 8{,}011e^{j90^\circ}=48{,}002e^{j73{,}35^\circ}=13{,}754+j45{,}989\В
[math]U_{23(1)}=U_1-U_{1(1)}=126{,}045-(13{,}754+j45{,}989)=112{,}291-j45{,}989=121{,}344e^{-j22{,}27^\circ}\B
[math]I_{2(1)}=\frac{U_{23(1)}}{Z_{2(1)}}=\frac{121{,}344e^{-j22{,}27^\circ}}{37{,}701e^{j21{,}82^\circ}}=3{,}219e^{-j44{,}09^\circ}\А
[math]I_{3(1)}=\frac{U_{23(1)}}{Z_{3(1)}}=\frac{121{,}344e^{-j22{,}27^\circ}}{34{,}978e^{-j30{,}94^\circ}}=3{,}469e^{j8{,}67^\circ}\А

Активная мощность цепи на первой гармонике:

[math]P_{(1)}=Re(U_1 \cdot I_{1(1)})=Re(126{,}045 \cdot 5{,}992e^{-j16{,}65^\circ})=723{,}596\Вт

Вычисляем параметры цепи на 3-ей гармонической составляющей:

[math]U_3=\frac{U_{3m}}{\sqrt{2}}=\frac{59{ , }418}{\sqrt{2}}=42{,}015\В

Рассчитываем сопротивления элементов на частоте 3-ей гармоники:

[math]X_{L1(3)}=2\pi \cdot 3fL_1=2\cdot 3{,}14\cdot 150\cdot 25{,}5\cdot 10^{-3}=24{,}033\Ом
[math]X_{c(3)}=\frac{1}{2 \pi \cdot 3fC}=\frac{1}{2 \cdot 3{,}14 \cdot 150 \cdot 177 \cdot 10^{-6}}=5{,}995\Ом
[math]X_{L2(3)}=2\pi \cdot 3fL_2=2\cdot 3{,}14\cdot 150\cdot 44{,}6\cdot 10^{-3}=42{,}035\Ом

Комплексные сопротивления ветвей и всей цепи на 3-ей гармонике:

[math]Z_{1(3)}=jX_{L1(1)}=j24{,}033=24{,}033e^{j90^\circ}\Ом
[math]Z_{2(3)}=R_2+jX_{L2(3)}=35+j42{,}035=54{,}699e^{j50{,}22^\circ}\Ом
[math]Z_{3(3)}=R_3-jX_{C(1)}=30-j5{,}995=30{,}593e^{-j11{,}3^\circ}\Ом
[math]Z_{(3)}=Z_{1(3)}+\frac{Z_{2(3)}\cdot Z_{3(3)}}{Z_{2(3)}+Z_{3(3)}}=j24{,}033+\frac{54{,}699e^{j50{,}22^\circ} \cdot 30{,}593e^{-j11{,}3^\circ}}{(35+j42{,}035)+(30-j5{,}995)}=j24{,}033+\frac{1673{,}407e^{j38{,}92^\circ}}{74{,}323e^{j29{,}01^\circ}}=

[math]=j24{,}033+22{,}515e^{j9{,}01^\circ}=j24{,}033+22{,}179+j3{,}875=22{,}179+j27{,}908=35{,}648e^{j51{,}53^\circ}\Ом

Токи и напряжения в цепи 3-ей гармоники:

[math]I_{1(3)}=\frac{U_3}{Z_{(3)}}=\frac{42{,}015}{35{,}648e^{j51{,}53^\circ}}=1{,}179e^{-j51{,}53^\circ}\А
[math]U_{1(3)}=I_{1(3)}\cdot Z_{1(3)}=1{,}179e^{-j51{,}53^\circ}\cdot 24{,}033e^{j90^\circ}=28{,}335e^{j38{,}47^\circ}=22{,}184+j17{,}627\В
[math]U_{23(3)}=U_3-U_{1(3)}=42{,}015-(22{,}184+j17{,}627)=19{,}831-j17{,}627=26{,}533e^{-j41{,}63^\circ}\B
[math]I_{2(3)}=\frac{U_{23(3)}}{Z_{2(3)}}=\frac{26{,}533e^{-j41{,}63^\circ}}{54{,}699e^{j50{,}22^\circ}}=0{,}485e^{-j91{,}85^\circ}\А
[math]I_{3(3)}=\frac{U_{23(3)}}{Z_{3(3)}}=\frac{26{,}533e^{-j41{,}63^\circ}}{30{,}593e^{-j11{,}3^\circ}}=0{,}867e^{-j30{,}33^\circ}\А

Активная мощность цепи на 3-ей гармонике:

[math]P_{(3)}=Re(U_3 \cdot I_{1(3)})=Re(42{,}015 \cdot 1{,}179e^{-j51{,}53^\circ})=30{,}816\Вт

Вычисляем параметры цепи на 5-ой гармонической составляющей:

[math]U_5=\frac{U_{5m}}{\sqrt{2}}=\frac{36{ , }651}{\sqrt{2}}=25{,}916\В

Рассчитываем сопротивления элементов на частоте 5-ой гармоники:

[math]X_{L1(5)}=2\pi \cdot 5fL_1=2\cdot 3{,}14\cdot 250\cdot 25{,}5\cdot 10^{-3}=40{,}055\Ом
[math]X_{c(5)}=\frac{1}{2 \pi \cdot 5fC}=\frac{1}{2 \cdot 3{,}14 \cdot 250 \cdot 177 \cdot 10^{-6}}=3{,}597\Ом
[math]X_{L2(5)}=2\pi \cdot 5fL_2=2\cdot 3{,}14\cdot 250\cdot 44{,}6\cdot 10^{-3}=70{,}058\Ом

Комплексные сопротивления ветвей и всей цепи на 5-ой гармонике:

[math]Z_{1(5)}=jX_{L1(5)}=j40{,}055=40{,}055e^{j90^\circ}\Ом
[math]Z_{2(5)}=R_2+jX_{L2(5)}=35+j70{,}058=78{,}314e^{j63{,}45^\circ}\Ом
[math]Z_{3(5)}=R_3-jX_{C(1)}=30-j3{,}597=30{,}215e^{-j6{,}84^\circ}\Ом
[math]Z_{(5)}=Z_{1(5)}+\frac{Z_{2(5)}\cdot Z_{3(5)}}{Z_{2(5)}+Z_{3(5)}}=j40{,}055+\frac{78{,}314e^{j63{,}45^\circ} \cdot 30{,}215e^{-j6{,}84^\circ}}{(35+j70{,}058)+(30-j3{,}597)}=j40{,}055+\frac{2366{,}258e^{j56{,}61^\circ}}{92{,}963e^{j45{,}64^\circ}}=

[math]=j40{,}055+25{,}454e^{j10{,}97^\circ}=j40{,}055+24{,}989+j4{,}844=24{,}989+j44{,}899=51{,}385e^{j60{,}91^\circ}\Ом

Токи и напряжения в цепи 5-ой гармоники:

[math]I_{1(5)}=\frac{U_5}{Z_{(5)}}=\frac{25{,}916}{51{,}385e^{j60{,}91^\circ}}=0{,}504e^{-j60{,}91^\circ}\А
[math]U_{1(5)}=I_{1(5)}\cdot Z_{1(5)}=0{,}504e^{-j60{,}91^\circ}\cdot 40{,}055e^{j90^\circ}=20{,}188e^{j29{,}09^\circ}=17{,}641+j9{,}815\В
[math]U_{23(5)}=U_5-U_{1(5)}=25{,}916-(17{,}641+j9{,}815)=8{,}275-j9{,}815=12{,}838e^{-j49{,}87^\circ}\B
[math]I_{2(5)}=\frac{U_{23(5)}}{Z_{2(5)}}=\frac{12{,}838e^{-j49{,}87^\circ}}{78{,}314e^{j63{,}45^\circ}}=0{,}164e^{-j113{,}32^\circ}\А
[math]I_{3(5)}=\frac{U_{23(5)}}{Z_{3(5)}}=\frac{12{,}838e^{-j49{,}87^\circ}}{30{,}215e^{-j6{,}84^\circ}}=0{,}425e^{-j43{,}03^\circ}\А

Активная мощность цепи на 5-ой гармонике:

[math]P_{(5)}=Re(U_5 \cdot I_{1(5)})=Re(25{,}916 \cdot 0{,}504e^{-j60{,}91^\circ})=6{,}35\Вт

Определяем действующие значения токов и напряжений ветвей цепи:

[math]I_1=\sqrt{I_{1(1)}^2+I_{1(3)}^2+I_{1(5)}^2}=\sqrt{5,992^2+1,179^2+0,504^2}=6,128\А

[math]I_2=\sqrt{I_{2(1)}^2+I_{2(3)}^2+I_{2(5)}^2}=\sqrt{3,219^2+0,485^2+0,164^2}=3,259\А

[math]I_3=\sqrt{I_{3(1)}^2+I_{3(3)}^2+I_{3(5)}^2}=\sqrt{3,469^2+0,867^2+0,425^2}=3,6\А

Активная мощность цепи:

[math]P=P_{(1)}+P_{(3)}+P_{(5)}=723,596+30,816+6,35=760,762Вт

Записываем выражения для мгновенного значения тока и напряжений цепи:

Окончание задачи в прилагаемом ниже файле
скачать задачу по несинусоидальным токам в формате Word.docx

Графики тока и напряжения приведены ниже:
а) график тока
б) график напряжения