Расчет электрической цепи с взаимной индуктивностью

[МаэстроZ]

Дана трехконтурная электрическая цепь из шести ветвей с тремя индуктивными связями (рис.1). Каждая ветвь содержит последовательно включенные источник синусоидально ЭДС, активное сопротивление, индуктивность и емкость: все источники – одной и той же частоты. В таблицах 1 и 2 указаны действующие значения ЭДС и начальные фазы источников (цифра a варианта). Положительным значением ЭДС соответствуют направления стрелок на рис.1, а отрицательным – противоположные направления. Пропущенные значения начальной фазы означают, что они равны нулю. Значения ЭДС приведены в вольтах, фазовых углов – в градусах, сопротивлений – в омах. Если при движении вдоль ветви по стрелке начало катушки встречается раньше, чем ее конец, то ее индуктивное сопротивление помечено звездочкой.

рис.1.png (47.21 КБ) 966 просмотров

Рис.1. Схема
ТРЕБУЕТСЯ
Начертить схему для своего варианта задания. Рассчитать индуктивные сопротивления связей (Хαβ) и обозначить их на схеме. Рядом со схемой привести все заданные и вычислительные параметры.
Методом контурных токов рассчитать токи во всех ветвях. Ответ записать в комплексной (символической) и аналитической форме.
Написать систему уравнений по законам Кирхгофа, подставить туда параметры цепи, найденные значения токов и проверить правильность расчета по методу контурных токов.
Для всех независимых контуров на комплексной плоскости построить векторную диаграмму всех токов и топографическую диаграмму напряжений для трех контуров.
Проверить энергетический баланс электрической цепи.
РЕШЕНИЕ:
1. РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ. СХЕМА
Для заданного варианта формируем расчетную схему. Записываем расчетные данные

Рис.2. Расчетная схема цепи
Рассчитываем сопротивление индуктивной связи
[math]X_{36}=k_{36}\cdot\sqrt{X_{L3}\cdot X_{L6}}=19,134 Ом
Записываем в комплексной форме значения источников ЭДС
[math]\bar{E_1}=89e^{j90^\circ}=0+j89=j89 B
[math]\bar{E_2}=87e^{j0^\circ}=87+j0=87 B
[math]\bar{E_3}=51e^{j45^\circ}=36,062 + j36,062 B
[math]\bar{E_4}=88e^{j90^\circ}=0 + j88=j88 B
[math]\bar{E_5}=55e^{j0^\circ}=55+j0=55 B
[math]\bar{E_6}=64e^{j0^\circ}=64+j0=64 B
2. РАСЧЕТ ТОКОВ (МКТ)
Определяем количество уравнений, которое необходимо и достаточно согласно МКТ, для исходной схемы (рис. 2)
Выбираем направление контурных токов в схеме по часовой стрелке, составляем систему:

sistem.png (46.61 КБ) 956 просмотров

Комплексы собственных сопротивлений контуров:

Скрытый текст

Для просмотра скрытого текста необходимо быть авторизованным пользователем.

Комплексы взаимных сопротивлений контуров, для рассматриваемой схемы:

Скрытый текст

Для просмотра скрытого текста необходимо быть авторизованным пользователем.

Контурные ЭДС

Скрытый текст

Для просмотра скрытого текста необходимо быть авторизованным пользователем.

Подставляем рассчитанные значения в систему, составленную в общем виде:
[math]\overline I_{11} (150+j24)-\overline I_{22} (18+j61)-\overline I_{33} (61+j20)=87+j177
[math]\overline I_{11} (18+j61)+\overline I_{22} (125+j73)-\overline I_{33} (28-j63,268)=-178,062-j36,062
[math]\overline I_{11} (61+j20)-\overline I_{22} (28-j63,268)+\overline I_{33} (146-j64)=-9-j88
Решая систему относительно контурных токов, получим следующие значения

matrix2.png (46.47 КБ) 953 просмотра

Таким образом, значения контурных токов составили
[math]I_{11}=0,12+j0,763 A; I_{22}=-1,316+j0,766 A; I_{33}=-0,217+j0,182 A;
Токи в ветвях схемы определяются как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих через ветвь:

Приведем аналитические выражения для мгновенных значений токов ветвей

мгновенные значения токов ветвей.png (63.69 КБ) 951 просмотр

3. ПРОВЕРКА ПО ЗАКОНАМ КИРХГОФА
Определяем общее количество необходимых уравнений. По первому закону Кирхгофа для схемы: у – 1 = 3, где у=4 – число узлов в схеме.
По второму закону Кирхгофа q = в – (у – 1) = 3, где в=6 – количество ветвей в схеме.
[math]-I_1+I_4-I_6=0
[math]I_1-I_2+I_3=0
[math]-I_3+I_5+I_6=0
Подставляем значения в уравнения
-(0,12+j0,763)+(0,337+j0,581)-(0,217-j0,182)=0
(0,12+j0,763)-(1,436-j0,003)+(1,316-j0,766)=0
-(1,316-j0,766)+(1,099-j0,584)+(0,217-j0,182)=0
Для уравнений по первому закону Кирхгофа равенства выполняются.
Делаем проверки по 2-му закону Кирхгофа

Законы Кирхгофа выполняются, значит расчет сделан верно.
4. ДИАГРАММЫ
Векторная диаграмма токов и топографические диаграммы напряжений строится на основании уравнений Кирхгоффа. На комплексной плоскости выбираются масштабы для векторов тока и напряжения и в соответствии с этим откладываются в комплексной плоскости. Для того что бы избежать перегруженности диаграммы для трех контуров строим диаграммы отдельно, приняв при этом один о тот же узел за нулевой потенциал – узел «1».

Рассчитываем потенциалы точек первого контура:

потенциалы первого контура.png (66.59 КБ) 951 просмотр

Рассчитываем потенциалы точек второго контура:

Рассчитываем потенциалы точек третьего контура контура:

потенциалы третьего контура.png (69.92 КБ) 948 просмотров

Рассчитываем мощность источников: [math]\bar{E_1}\cdot I_1+\bar{E_2}\cdot I_2+\bar{E_3}\cdot I_3+\bar{E_4}\cdot I_4+\bar{E_5}\cdot I_5+\bar{E_6}\cdot I_6=338,134+j159,446 BA
Активные мощности приёмников
[math]I_1^2 \cdot R_1+I_2^2 \cdot R_2+I_1^3 \cdot R_3+I_4^2 \cdot R_4+I_5^2 \cdot R_5+I_6^2 \cdot R_6=338,104 Bт
Рассчитываем реактивную мощность источников
[math]I_1^2 \cdot (X_{L1}-X_{C1})+I_2^2 \cdot (X_{L2}-X_{C2})+I_3^2 \cdot (X_{L3}-X_{C3})+I_4^2 \cdot (X_{L4}-X_{C4})+I_5^2 \cdot (X_{L5}-X_{C5})+I_6^2 \cdot (X_{L6}-X_{C6})+2-X_{36}\cdot I_3 \cdot I_6 \cdot cos 9,785^\circ=159,404 BAp
Результаты всех расчетов сводим в таблицу

Всё. На этом вся работа закончена.