Переходный процесс с катушкой и ключом на замыкание - операторный метод

[МаэстроZ]

perehodni-process.gif (6.51 КБ) 6558 просмотров

Классическим методом эта задача решена здесь Переходный процесс с катушкой и ключом на замыкание - классический метод
Теперь решим операторным. Для начала составим операторную схему замещения:

perehodni-process-L.gif (5 КБ) 6552 просмотра

Определяем начальные условия
[math]I_1(0)=I_3(0)=\frac{E}{R_1+R_2}=3
Составляем систему уравнений для времени t=0:

Скрытый текст

Для просмотра скрытого текста необходимо быть авторизованным пользователем.

Из 2-го и 3-го уравнений системы выражаем I2(p) и I3(p) соответственно, после чего подставляем всё это в первое уравнение системы.
.............................................................................................
После проведения алгебраических преобразований получим, что
[math]I_1(12p^2+12)=54p+48, т.е. [math]I_1(p)=\frac{54p+48}{12p^2+12p}=\frac{F_1(p)}{F_2(p)}
Для нахождения оригинала I1(t) определим корни знаменателя F2(p), для приравняем его к нулю. Получим два корня: р1=0 и р2=-1.
Получаем: F1(p1)=48 и F1(p2)=-6. Находим производную F'2(p) и ее значение при р1 и р2:
[math]F_2'(p)24p+12. Откуда [math]F_2'(p_1)12 \qquad F_2'(p_2)=-12
Теперь оригинал тока в неразветвленной части цепи определим по теореме разложения
[math]I_1(t)=\frac{F_1(p_1)}{F_2'(p_1)}\cdot e^{p_1t}+\frac{F_1(p_2)}{F_2'(p_2)}\cdot e^{p_2t}. После подстановки найденных значений будем иметь:
[math]I_1(t)=\frac{48}{12}\cdot e^{0t}+\frac{-6}{-12}\cdot e^{-t}=4+0,5e^{-t}
Оставшиеся токи и напряжение на сопротивлении находятся так же, как и в классическом методе.